В предыдущих статьях мы узнали, что всякое сопротивление, поглощающее энергию, называется активным , а сопротивление, не поглощающее энергии, безваттным или реактивным. Кроме того, мы установили, что реактивные сопротивления делятся на два вида - индуктивные и емкостные .
Однако существуют цепи, где сопротивление не является чисто активным или чисто реактивным. То есть цепи, где вместе с активным сопротивлением включены в цепь, как емкости, так и индуктивности.
Введем понятие полного сопротивления цепи переменному току - Z , которое соответствует векторной сумме всех сопротивлений цепи (активных, емкостных и индуктивных). Понятие полного сопротивления цепи нам необходимо для более полного понимания закона Ома для переменного тока
На рисунке 1 представлены варианты электрических цепей и их классификация в зависимости от того какие элементы (активные или реактивные) включены в цепь.
Рисунок 1. Классификация цепей переменного тока.
Полное сопротивление цепи с чисто активными элементами соответствует сумме активных сопротивлений цепи и рассматривалось нами ранее. О чисто емкостном и индуктивном сопротивлении цепи мы тоже с вами говорили, и оно зависит соответственно от общей емкости и индуктивности цепи.
Рассмотрим более сложные варианты цепи, где последовательно с активным сопротивлением в цепь включено индуктивное и реактивное сопротивление.
Полное сопротивление цепи при последовательном соединении активного и реактивного сопротивления.
В любом сечении цепи, изображенной на рисунке 2,а, мгновенные значения тока должны быть одинаковыми, так как в противном случае наблюдались бы скопления и разрежения электронов в каких-либо точках цепи. Иными словами, фазы тока по всей длине цепи должны быть одинаковыми. Кроме того, мы знаем, что фаза напряжения на индуктивном сопротивлении опережает фазу тока на 90°, а фаза напряжения на активном сопротивлении совпадает с фазой тока (рисунок 2,б). Отсюда следует, что радиус-вектор напряжения U L (напряжение на индуктивном сопротивлении) и напряжения U R (напряжение на активном сопротивлении) сдвинуты друг относительно друга на угол в 90°.
Рисунок 2. Полное сопротивление цепи с активным сопротивлением и индуктивностью. а) - схема цепи; б) - сдвиг фаз тока и напряжения; в) - треугольник напряжений; д) - треугольник сопротивлений.
Для получения радиуса-вектора результирующего напряжения на зажимах А и В (рис.2,а) мы произведем геометрическое сложение радиусов-векторов U L и U R . Такое сложение выполнено на рис. 2,в, из которого видно, что результирующий вектор U AB является гипотенузой прямоугольного треугольника.
Из геометрии известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
По закону Ома напряжение должно равняться силе тока, умноженной на сопротивление.
Так как сила тока во всех точках цепи одинакова, то квадрат полного сопротивления цепи (Z 2) будет также равен сумме квадратов активного и индуктивного сопротивлений, т. е.
(1)
Извлекая квадратный корень из обеих частей этого равенства, получим,
(2)
Таким образом, полное сопротивление цепи, изображенной на рис 2,а, равно корню квадратному из суммы квадратов активного и индуктивного сопротивлений
Полное сопротивление можно находить не только путем вычисления, но и путем построения треугольника сопротивлений, аналогичного треугольнику напряжений (рис 2,д), т. е. полное сопротивление цепи переменному току может быть получено путем измерения гипотенузы, прямоугольного треугольника, катетами которого являются активное и реактивное сопротивления. Разумеется, измерения катетов и гипотенузы должны производиться в одном и том же масштабе. Так, например, если мы условились, что 1 см длины катетов соответствует 1 ом, то число омов полного сопротивления будет равно числу сантиметров, укладывающихся на гипотенузе.
Полное сопротивление цепи, изображенной на рис.2,а, не является ни чисто активным, ни чисто реактивным; оно содержит в себе оба эти вида сопротивлений. Поэтому угол сдвига фаз тока и напряжения в этой цепи будет отличаться и от 0° и от 90°, то есть он будет больше 0°, но меньше 90°. К которому из этих двух значений он будет более близок, будет зависеть от того, какое из этих сопротивлений имеет преобладающее значение в цепи. Если индуктивное сопротивление будет больше активного, то угол сдвига фаз будет более близок к 90°, и наоборот, если преобладающим будет активное сопротивление, то угол сдвига фаз будет более близок к 0°.
В цепи, изображенной на рис 3,а, соединены последовательно активное и емкостное сопротивления. Полное сопротивление такой цепи можно определить при помощи треугольника сопротивлений так же, как мы определяли выше полное сопротивление активно-индуктивной цепи.
Рисунок 3. Полное сопротивление цепи с активным сопротивлением и емкостью . .
Разница между обоими случаями состоит лишь в том, что треугольник сопротивлений для активно-емкостной цепи будет повернут в другую сторону (рис 3,б) вследствие того, что ток в емкостной цепи не отстает от напряжения, а опережает его.
Для данного случая:
(3)
В общем случае, когда цепь содержит все три вида сопротивлений (рис. 4,а), сначала определяется реактивное сопротивление этой цепи, а затем уже полное сопротивление цепи.
Рисунок 4. Полное сопротивление цепи содержащей R, L и C . а) - схема цепи; б) - треугольник сопротивлений .
Реактивное сопротивление этой цепи состоит из индуктивного и емкостного сопротивлений. Так как эти два вида реактивного сопротивления противоположны друг другу по своему характеру, то общее реактивное сопротивление цепи будет равно их разности, т. е.
(4)
Общее реактивное сопротивление цепи может иметь индуктивный или емкостный характер, в зависимости от того, какое из этих двух сопротивлений (X L или X C преобладает).
После того как мы по формуле (4) определили общее реактивное сопротивление цепи, определение полного сопротивления не представит затруднений. Полное сопротивление будет равно корню квадратному из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений, т. е.
(5)
(6)
Способ построения треугольника сопротивлений для этого случая изображен на рис. 4 б.
Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивного сопротивления.
Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивного элемента.
Для того чтобы вычислить полное сопротивление цепи, составленной из активного и индуктивного сопротивлений, соединенных между собой параллельно(рис. 5,а), нужно сначала вычислить проводимость каждой из параллельных ветвей, потом определить полную проводимость всей цепи между точками А и В и затем вычислить полное сопротивление цепи между этими точками.
Рисунок 5. Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивных элементов . а) - параллельное соединение R и L; б) - параллельное соединение R и C .
Проводимость активной ветви, как известно, равна 1/R, аналогично проводимость индуктивной ветви равна 1/ωL , а полная проводимость равна 1/Z
Полная проводимость равна корню квадратному из суммы квадратов активной и реактивной проводимости, т. е.
(7)
Приводя к общему знаменателю подкоренное выражение, получим:
(8)
(9)
Формула (9) служит для вычисления полного сопротивления цепи, изображенной на рис. 5а.
Нахождение полного сопротивления для этого случая может быть произведено и геометрическим путем. Для этого нужно построить в соответствующем масштабе треугольник сопротивлений, и затем произведение длин катетов разделить на длину гипотенузы. Полученный результат и будет соответствовать полному сопротивлению.
Аналогично случаю, рассмотренному выше, полное сопротивление при параллельном соединении R и С (рис 5б) будет равно:
(10)
Полное сопротивление может быть найдено также и в этом случае путем построения треугольника сопротивлений.
В радиотехнике наиболее часто встречается случай па¬раллельного соединения индуктивности и емкости, например колебательный контур для настройки приемников и передатчиков. Так как катушка индуктивности всегда обладает кроме индуктивного еще и активным сопротивлением, то эквивалентная (равноценная) схема колебательного контура будет содержать в индуктивной ветви активное сопротивление (рис 7).
Рисунок 6. Эквивалентная схема колебательного контура .
Формула полного сопротивления для этого случая будет:
(11)
Так как обычно активное сопротивление катушки (R) бывает очень мало по сравнению с ее индуктивным сопротивлением (ωL), то мы имеем право формулу (11) переписать в следующем виде:
(12)
В колебательном контуре обычно подбирают величины L и С таким образом, чтобы индуктивное сопротивление равнялось емкостному, т. е. чтобы соблюдалось условие
(13)
При соблюдении этого условия полное сопротивление колебательного контура будет равно:
(14)
где L-индуктивность катушки в Гн;
С-емкость конденсатора в Ф;
R-активное сопротивление катушки в Ом.
Из письма клиента:
Подскажите, ради Бога, почему мощность ИБП указывается в Вольт-Амперах, а не в привычных для всех киловаттах. Это сильно напрягает. Ведь все уже давно привыкли к киловаттам. Да и мощность всех приборов в основном указана в кВт.
Алексей. 21 июнь 2007
В технических характеристиках любого ИБП указаны полная мощность [кВА] и активная мощность [кВт] – они характеризуют нагрузочную способность ИБП. Пример, см. фотографии ниже:
 |
Мощность не всех приборов указана в Вт, например:
- Мощность трансформаторов указывается в ВА:
http://www.mstator.ru/products/sonstige/powertransf (трансформаторы ТП: см приложение)
http://metz.by/download_files/catalog/transform/tsgl__tszgl__tszglf.pdf (трансформаторы ТСГЛ: см приложение) - Мощность конденсаторов указывается в Варах:
http://www.elcod.spb.ru/catalog/k78-39.pdf (конденсаторы K78-39: см приложение)
http://www.kvar.su/produkciya/25-nizkogo-napraygeniya-vbi (конденсаторы УК: см приложение) - Примеры других нагрузок - см. приложения ниже.
Мощностные характеристики нагрузки можно точно задать одним единственным параметром (активная мощность в Вт) только для случая постоянного тока, так как в цепи постоянного тока существует единственный тип сопротивления – активное сопротивление.
Мощностные характеристики нагрузки для случая переменного тока невозможно точно задать одним единственным параметром, так как в цепи переменного тока существует два разных типа сопротивления – активное и реактивное. Поэтому только два параметра: активная мощность и реактивная мощность точно характеризуют нагрузку.
Принцип действия активного и реактивного сопротивлений совершенно различный. Активное сопротивление – необратимо преобразует электрическую энергию в другие виды энергии (тепловую, световую и т.д.) – примеры: лампа накаливания, электронагреватель (параграф 39, Физика 11 класс В.А. Касьянов М.: Дрофа, 2007).
Реактивное сопротивление – попеременно накапливает энергию затем выдаёт её обратно в сеть – примеры: конденсатор, катушка индуктивности (параграф 40,41, Физика 11 класс В.А. Касьянов М.: Дрофа, 2007).
Дальше в любом учебнике по электротехнике Вы можете прочитать, что активная мощность (рассеиваемая на активном сопротивлении) измеряется в ваттах, а реактивная мощность (циркулирующая через реактивное сопротивление) измеряется в варах; так же для характеристики мощности нагрузки используют ещё два параметра: полную мощность и коэффициент мощности. Все эти 4 параметра:
- Активная мощность: обозначение P , единица измерения: Ватт
- Реактивная мощность: обозначение Q , единица измерения: ВАр (Вольт Ампер реактивный)
- Полная мощность: обозначение S , единица измерения: ВА (Вольт Ампер)
- Коэффициент мощности: обозначение k или cosФ , единица измерения: безразмерная величина
Эти параметры связаны соотношениями: S*S=P*P+Q*Q, cosФ=k=P/S
Также cosФ называется коэффициентом мощности (Power Factor – PF )
Поэтому в электротехнике для характеристики мощности задаются любые два из этих параметров так как остальные могут быть найдены из этих двух.
Например, электромоторы, лампы (разрядные) - в тех. данных указаны P[кВт] и cosФ:
http://www.mez.by/dvigatel/air_table2.shtml (двигатели АИР: см. приложение)
http://www.mscom.ru/katalog.php?num=38 (лампы ДРЛ: см. приложение)
(примеры технических данных разных нагрузок см. приложение ниже)
То же самое и с источниками питания. Их мощность (нагрузочная способность) характеризуется одним параметром для источников питания постоянного тока – активная мощность (Вт), и двумя параметрами для ист. питания переменного тока. Обычно этими двумя параметрами являются полная мощность (ВА) и активная (Вт). См. например параметры ДГУ и ИБП.
Большинство офисной и бытовой техники, активные (реактивное сопротивление отсутствует или мало), поэтому их мощность указывается в Ваттах. В этом случае при расчёте нагрузки используется значение мощности ИБП в Ваттах. Если нагрузкой являются компьютеры с блоками питания (БП) без коррекции входного коэффициента мощности (APFC), лазерный принтер, холодильник, кондиционер, электромотор (например погружной насос или мотор в составе станка), люминисцентные балластные лампы и др. – при расчёте используются все вых. данные ибп: кВА, кВт, перегрузочные характеристики и др.
См. учебники по электротехнике, например:
1. Евдокимов Ф. Е. Теоретические основы электротехники. - М.: Издательский центр "Академия", 2004.
2. Немцов М. В. Электротехника и электроника. - М.: Издательский центр "Академия", 2007.
3. Частоедов Л. А. Электротехника. - М.: Высшая школа, 1989.
Так же см. AC power, Power factor, Electrical resistance, Reactance http://en.wikipedia.org
(перевод: http://electron287.narod.ru/pages/page1.html)
Приложение
Пример 1: мощность трансформаторов и автотрансформаторов указывается в ВА (Вольт·Амперах)
http://metz.by/download_files/catalog/transform/tsgl__tszgl__tszglf.pdf (трансформаторы ТСГЛ)
| Однофазные автотрансформаторы |
|
||
| TDGC2-0.5 kVa, 2A | АОСН-2-220-82 | ||
| TDGC2-1.0 kVa, 4A | Латр 1.25 | АОСН-4-220-82 | |
| TDGC2-2.0 kVa, 8A | Латр 2.5 | АОСН-8-220-82 | |
| TDGC2-3.0 kVa, 12A | |||
| TDGC2-4.0 kVa, 16A | |||
| TDGC2-5.0 kVa, 20A | АОСН-20-220 | ||
| TDGC2-7.0 kVa, 28A | |||
| TDGC2-10 kVa, 40A | АОМН-40-220 | ||
| TDGC2-15 kVa, 60A | |||
| TDGC2-20 kVa, 80A | |||
http://www.gstransformers.com/products/voltage-regulators.html (ЛАТР / лабораторные автотрансформаторы TDGC2)
Пример 2: мощность конденсаторов указывается в Варах (Вольт·Амперах реактивных)
 |
http://www.elcod.spb.ru/catalog/k78-39.pdf (конденсаторы K78-39)
 |
http://www.kvar.su/produkciya/25-nizkogo-napraygeniya-vbi (конденсаторы УК)
Пример 3: технические данные электромоторов содержат активную мощность (кВт) и cosФ
Для таких нагрузок как электромоторы, лампы (разрядные), компьютерные блоки питания, комбинированные нагрузки и др. - в технических данных указаны P [кВт] и cosФ (активная мощность и коэффициент мощности) или S [кВА] и cosФ (полная мощность и коэффициент мощности) .
http://www.weiku.com/products/10359463/Stainless_Steel_cutting_machine.html
(комбинированная нагрузка – станок плазменной резки стали / Inverter Plasma cutter LGK160 (IGBT)
http://www.silverstonetek.com.tw/product.php?pid=365&area=en (блок питания ПК)
Дополнение 1
Если нагрузка имеет высокий коэффициент мощности (0.8 ... 1.0), то её свойства приближаются к активной нагрузке. Такая нагрузка является идеальной как для сетевой линии, так и для источников электроэнергии, т.к. не порождает реактивных токов и мощностей в системе.
Поэтому во многих странах приняты стандарты нормирующие коэффициент мощности оборудования.
Дополнение 2
Оборудование однонагрузочное (например, БП ПК) и многосоставное комбинированное (например, фрезерный промышленный станок, имеющий в составе несколько моторов, ПК, освещение и др.) имеют низкие коэффициенты мощности (менее 0.8) внутренних агрегатов (например, выпрямитель БП ПК или электромотор имеют коэффициент мощности 0.6 .. 0.8). Поэтому в настоящее время большинство оборудования имеет входной блок корректора коэффициента мощности. В этом случае входной коэффициент мощности равен 0.9 ... 1.0, что соответствует нормативным стандартам.
Дополнение 3. Важное замечание относительно коэффициента мощности ИБП и стабилизаторов напряжения
Нагрузочная способность ИБП и ДГУ нормирована на стандартную промышленную нагрузку (коэффициент мощности 0.8 с индуктивным характером). Например, ИБП 100 кВА / 80 кВт. Это означает, что устройство может питать активную нагрузку максимальной мощности 80 кВт, или смешанную (активно-реактивную) нагрузку максимальной мощности 100 кВА с индуктивным коэффициентом мощности 0.8.
В стабилизаторах напряжения дело обстоит иначе. Для стабилизатора коэффициент мощности нагрузки безразличен. Например, стабилизатор напряжения 100 кВА. Это означает, что устройство может питать активную нагрузку максимальной мощности 100 кВт, или любую другую (чисто активную, чисто реактивную, смешанную) мощностью 100 кВА или 100 кВАр с любым коэффициентом мощности емкостного или индуктивного характера. Обратите внимание, что это справедливо для линейной нагрузки (без высших гармоник тока). При больших гармонических искажениях тока нагрузки (высокий КНИ) выходная мощность стабилизатора снижается.
Дополнение 4
Наглядные примеры чистой активной и чистой реактивных нагрузок:
- К сети переменного тока 220 VAC подключена лампа накаливания 100 Вт – везде в цепи есть ток проводимости (через проводники проводов и вольфрамовый волосок лампы). Характеристики нагрузки (лампы): мощность S=P~=100 ВА=100 Вт, PF=1 => вся электрическая мощность активная, а значит она целиком поглащается в лампе и превращается в мощность тепла и света.
- К сети переменного тока 220 VAC подключен неполярный конденсатор 7 мкФ – в цепи проводов есть ток проводимости, внутри конденсатора идёт ток смещения (через диэлектрик). Характеристики нагрузки (конденсатора): мощность S=Q~=100 ВА=100 ВАр, PF=0 => вся электрическая мощность реактивная, а значит она постоянно циркулирует от источника к нагрузке и обратно, опять к нагрузке и т.д.
Дополнение 5
Для обозначения преобладающего реактивного сопротивления (индуктивного либо ёмкостного) коэффициенту мощности приписывается знак:
+ (плюс) – если суммарное реактивное сопротивление является индуктивным (пример: PF=+0.5). Фаза тока отстаёт от фазы напряжения на угол Ф.
- (минус) – если суммарное реактивное сопротивление является ёмкостным (пример: PF=-0,5). Фаза тока опережает фазу напряжения на угол Ф.
Дополнение 6
Дополнительные вопросы
Вопрос 1:
Почему во всех учебниках электротехники при расчете цепей переменного тока используют мнимые числа / величины (например, реактивная мощность, реактивное сопротивление и др.), которые не существуют в реальности?
Ответ:
Да, все отдельные величины в окружающем мире – действительные. В том числе температура, реактивное сопротивление, и т.д. Использование мнимых (комплексных) чисел – это только математический приём, облегчающий вычисления. В результате вычисления получается обязательно действительное число. Пример: реактивная мощность нагрузки (конденсатора) 20кВАр – это реальный поток энергии, то есть реальные Ватты, циркулирующие в цепи источник–нагрузка. Но что бы отличить эти Ватты от Ваттов, безвозвратно поглащаемых нагрузкой, эти «циркулирующие Ватты» решили называть Вольт·Амперами реактивными .
Замечание:
Раньше в физике использовались только одиночные величины и при расчете все математические величины соответствовали реальным величинам окружающего мира. Например, расстояние равно скорость умножить на время (S=v*t). Затем с развитием физики, то есть по мере изучения более сложных объектов (свет, волны, переменный электрический ток, атом, космос и др.) появилось такое большое количество физических величин, что рассчитывать каждую в отдельности стало невозможно. Это проблема не только ручного вычисления, но и проблема составления программ для ЭВМ. Для решения данное задачи близкие одиночные величины стали объединять в более сложные (включающие 2 и более одиночных величин), подчиняющиеся известным в математике законам преобразования. Так появились скалярные (одиночные) величины (температура и др.), векторные и комплексные сдвоенные (импеданс и др.), векторные строенные (вектор магнитного поля и др.), и более сложные величины – матрицы и тензоры (тензор диэлектрической проницаемости, тензор Риччи и др.). Для упрощения рассчетов в электротехнике используются следующие мнимые (комплексные) сдвоенные величины:
- Полное сопротивление (импеданс) Z=R+iX
- Полная мощность S=P+iQ
- Диэлектрическая проницаемость e=e"+ie"
- Магнитная проницаемость m=m"+im"
- и др.
Вопрос 2:
На странице http://en.wikipedia.org/wiki/Ac_power показаны S P Q Ф на комплексной, то есть мнимой / несуществующей плоскости. Какое отношение это все имеет к реальности?
 |
Ответ:
Проводить расчеты с реальными синусоидами сложно, поэтому для упрощения вычислений используют векторное (комплексное) представление как на рис. выше. Но это не значит, что показанные на рисунке S P Q не имеют отношения к реальности. Реальные величины S P Q могут быть представлены в обычном виде, на основе измерений синусоидальных сигналов осциллографом. Величины S P Q Ф I U в цепи переменного тока «источник-нагрузка» зависят от нагрузки. Ниже показан пример реальных синусоидальных сигналов S P Q и Ф для случая нагрузки состоящей из последовательно соединённых активного и реактивного (индуктивного) сопротивлений.
 |
Вопрос 3:
Обычными токовыми клещами и мультиметром измерен ток нагрузки 10 A, и напряжение на нагрузке 225 В. Перемножаем и получаем мощность нагрузки в Вт: 10 A · 225В = 2250 Вт.
Ответ:
Вы получили (рассчитали) полную мощность нагрузки 2250 ВА. Поэтому ваш ответ будет справедлив только, если ваша нагрузка чисто активная, тогда действительно Вольт·Ампер равен Ватту. Для всех других типов нагрузок (например электромотор) – нет. Для измерения всех характеристик любой произвольной нагрузки необходимо использовать анализатор сети, например APPA137:
 |
См. дополнительную литературу, например:
Евдокимов Ф. Е. Теоретические основы электротехники. - М.: Издательский центр "Академия", 2004.
Немцов М. В. Электротехника и электроника. - М.: Издательский центр "Академия", 2007.
Частоедов Л. А. Электротехника. - М.: Высшая школа, 1989.
AC power, Power factor, Electrical resistance, Reactance
http://en.wikipedia.org (перевод: http://electron287.narod.ru/pages/page1.html)
Теория и расчёт трансформаторов малой мощности Ю.Н.Стародубцев / РадиоСофт Москва 2005 г. / rev d25d5r4feb2013
Переход от показательной формы к тригонометрической осуще- ствляется по формуле Эйлера Ae jψ = A cos ψ + jA sin ψ, обратный переход, принимая во внимание представление комплекс- ных чисел, также несложен: I = Re(I) 2 + Im (I) 2 , & & U = Re(U) 2 + Im (U) 2 - & & - модули комплексных чисел; & Im(I) & Im(U) ψ i = arctg , ψ u = arctg - & Re (I) & Re (U) -начальные фазы. Кроме аналитической формы представления, в электротехнике широко используется и графическое представление величин (рис. 3.1): +j 1) в прямоугольной де- I& картовой системе координат в U& Im(Đ) виде синусоидальных функ- ϕ & Im(U) ψi ций времени; ψu +1 2) в полярной системе 0 координат в виде вращаю- Re(Đ) & Re(U) щихся векторов; Рис. 3.1 3) на комплексной плос- кости в виде вращающихся векторов, изображенных для момента времени t = 0. Величина электрического сопротивления, в отличие от ЭДС, то- ка и напряжения, не вектор, а скаляр. В соответствии с законом Ома, записанным в комплексном виде, и с учетом вариантов представления комплексных чисел широко из- вестна запись: U & Z = = R + j (X L − X C) = Ze jϕ , Ом, I& где R – линейное активное сопротивление, Ом; XL − идеальное индуктивное сопротивление, определяемое как XL = ω L, Ом; XC − идеальное емкостное сопротивление, определяемое как XC = 1/(ω C), Ом; Z = R 2 + (X L − X C) 2 − модуль полного комплексного сопро- тивления, Ом; X − XC ϕ = arctg L − фаза полного комплексного сопротивления, R град (рад). При последовательном соединении полное комплексное эквива- лентное сопротивление равно сумме комплексных сопротивлений от- дельных участков: n n n n Z э = ∑ Z k = ∑ Rk + j ∑ X Lk − ∑ X Ck . k =1 k =1 k =1 k =1 Основные элементы схем замещения цепей синусоидального то- ка и их параметры сведены в табл. 3.1. 3.1.2. Примеры решения задач Пример 1 Заданы графические изображения u, i тока и напряжения, известны их ампли- u i тудные значения Im = 2A, Um = 141 B 0 t (рис.3.2). 1. Записать аналитические выраже- 0,001 с ния функций в тригонометрической и Т=0,01 с комплексной формах. 2. Определить полное комплексное Рис. 3.2 сопротивление цепи. 3. Вычертить электрическую схему цепи и определить ее пара- метры. 4. Построить векторную диаграмму тока и напряжения. Решение 1. Исходя из общего вида записи, определяются: i=Im sin(ωt+ψi), u=Um sin(ωt+ψu), угловая частота: ω = 2πf = 2π/T = 2π/0,01≈ 628, c-1. Пассивные элементы электрической цепи Таблица 3.1 Элементы схем замещения Полное Модуль полного Аргумент Упрощенная Запись закона комплексное комплексного полного векторная Название Обозначение Ома сопротивление, сопротивления, комплексного диаграмма Ом Ом сопротивления R Идеальный ре- I =UR / R & & & U Đ зистивный эле- R R 0 U R = RI & & мент Идеальный ин- L I = UL /(jXL) , & & jXL=jωL= o U& дуктивный эле- XL=ωL 90 U = jX I & & = ωLe j 900 ϕ= 90o Đ мент L L Идеальный ем- C I = UC /(− jXC) , −jXC=−j/(ωC)= & & костный элемент XC=1/(ωC) – 90o ϕ= -90o Đ U C = − jX C I = e− j 90 0 & & & U Реальная индук- L R U& I =U Z & & X тивная катушка Z=R+jXL Z= R + 2 2 XL ϕ = arctg L R ϕ>0 Đ Последователь- ное соединение Đ R С резистивного и − XC ϕ<0 I =U Z & & Z=R-jXC Z = R2 + X C 2 ϕ = arctg U& идеального ем- R костного эле- ментов Обобщенный Z Z= X L − XC I =U Z & & Z=R+j(XL-XC) ϕ = arctg элемент = R2 + (X L − XC)2 R Величины начальных сдвигов фаз: для тока − из графика видно, что ψi = 0, для напряжения – определяем из пропорции: 0,01 − 2π 0,001·2π π ⇒ψ = = . 0,001 − ψ u u 0,01 5 График тока пересекает начало координат раньше, чем график напряжения, поэтому ψu< 0. После этого выражения для мгновенных значений приобретут вид: i=2 sin(628 t), A, u=141 sin(628t−π/5), B. Для перехода к комплексной форме записи определяются дейст- вующие значения тока и напряжения: I = I m / 2 = 2 / 2 ≈ 1,41, A; U = U m / 2 = 141 / 2 ≈ 100, B . Комплексные значения тока и напряжения в показательной форме имеют вид I = 1,41 ⋅ e j 0 , A ; U = 100 ⋅ e − j 36 , B . o o & & 2. Полное комплексное сопротивление цепи U 100e − jπ/5 & Z= = = 70,92e − jπ/5 , Ом. I& 1,41e j0 Воспользовавшись формулой Эйлера, получим Z = 70,92cos(–π/5) + j70,92sin(–π/5) = 57,37 – j 41,68, Ом, следовательно, R = 57,37 Ом, XC = 41,68 Ом, C = 1/(ωXC) = 7,64⋅10-5 = 76,4, мкФ. 3. Электрическая схема замеще- ния содержит активное сопротивление R XC R = 57,37 Ом и емкостное XC = 41,68 Ом с величиной емкости С = 76,4 мкФ (рис. 3.3). Рис. 3.3 4. Векторная диаграмма тока и напряжения показана на рис. 3.4. +j Đ +1 0 φ=−36 U& Рис. 3.4 Пример 2 Даны комплексные значения тока и напряжения: I = (4 + j 3), A , & U = (20 + j 20), B, частота питающей сети f = 50 Гц. & 1. Записать ток и напряжение в комплексной показательной форме и выражения для их мгновенных значений. 2. Вычислить величину Z. 3. Построить векторную диаграмму тока и напряжения. 4. Вычертить схему замещения участка электрической цепи. Решение 1.Модуль тока I = Re(I) 2 + Im(I) 2 = 4 2 + 32 = 5, A, & & начальная фаза тока ψi= arctg (Im(Đ) / (Re(Đ)) = arctg(3/4)=36,9°, комплекс тока в показательной форме записи o I = 5e j 36,9 , A . & Модуль напряжения U = Re(U) 2 + Im(U) 2 = 20 2 + 20 2 = 28,3, В, & & начальная фаза напряжения & Im(U) 20 ψ u = arctg = arctg = 45o , & Re(U) 20 комплекс напряжения в показательной форме записи U = 28,3е j 45° , В. & Амплитудные значения: тока I m = I 2 = 5 2 = 7,1, A ; напряжения U m = U 2 = 28,3 2 = 40, B . Мгновенные значения: тока i = 7,1 sin(314t + 0,64), A; напряжения u = 40 sin (314t+π/4), B. 2. Полное комплексное сопротивление цепи o U 28,3e j 45 & o Z= = = 5,66e j 8,1 , Ом. & I o 5e j 36,9 3. В алгебраической форме (переход по формуле Эйлера через тригонометрическую форму) Z = 5,66cos(8,1˚) + j5,66sin (8,1˚) = 5,6 + j 0,8, Ом. 4. Векторная диаграмма тока и напряжения представлена на рис. 3.5 +j U& Đ φ = 8,1o ψu = 45o ψi = 36,9o +1 0 Рис. 3.5 5.Схема замещения цепи (рис. 3.6) R L Рис. 3.6 Пример 3 Задана электрическая цепь (рис. 3.7), R L содержащая последовательно вклю- ченные катушку индуктивности с ак- U& тивным сопротивлением R = 10 Ом и C индуктивным сопротивлением XL = 2 Ом и конденсатор с емкостным со- Рис. 3.7 противлением XC = 5 Ом. Напряжение питания цепи U = 36 В. Вычислить величину тока и построить векторную диаграмму тока и напряжений. Решение Полное комплексное сопротивление цепи Z = R + j (X L − X C) = 10 − j 3 = 10,44е− j16°42′ , Ом. Согласно закону Ома в комплексной форме ток в цепи составит & &=U = 36е j 0° I = 3,45е j16°42′ , A . Z 10,44е − j16°42′ По известным значениям тока и сопротивлений участков цепи вычисляются падения напряжения на отдельных участках схемы за- мещения электрической цепи: U R = RI = 10 ⋅ 3,45 = 34,5, B, U L = X L I = 2 ⋅ 3,45 = 6,9, B, U C = X C I = 5 ⋅ 3,45 = 17,25, B. Алгоритм построения векторной диаграммы тока и напряже- ний (рис. 3.8): +j & UL & I & Uк & UR & UC ϕ = – 16°42′ +1 0 U& Рис. 3.8 1) поскольку в цепи из последовательно соединенных элемен- тов общим для последних является ток, построение векторной диа- & граммы начинается с откладывания вектора тока I ; 2) из начала координат по вектору тока откладывается вектор & U R (длина вектора определяется исходя из масштаба напряжений mU); & & 3) из конца вектора U R перпендикулярно вектору I строится вектор U L так, чтобы этот вектор опережал вектор тока I на 90o; & & & & 4) сумма векторoв U R и U L равна вектору падения напряжения & на катушке U к; & & & 5) из конца вектора U L или U к проводится векторU C ; его на- правление определяется из условия опережения вектором тока векто- ра напряжения U C на угол π/2 (в случае идеального емкостного эле- & мента); & & & 6) сумма векторов падений напряжения U R , U L и U C равна & вектору напряжения U , приложенного к электрической цепи. Пример 4 В электрическую цепь с напряжением на входе u = 141 sinωt, В, включена катушка индуктивности с активным сопротивлением R = 3 Ом и индуктивным сопротивлением XL = 4 Ом. Вычислить показания включенных в цепь амперметра и вольт- метра, а также мощность, потребляемую цепью. Решение Полное комплексное сопротивление цепи Z = R + jX L = 3 + j 4 = 5е j 53,1° , Ом. Действующее значение напряжения (показание вольтметра) U = U m / 2 = 141 / 2 = 100, B . Действующее значение тока (показание амперметра) U 100 I= = = 20, A . Z 5 Комплексное значение тока (начальная фаза напряжения соглас- но условию задачи равна нулю) & j 0° & = U = 100е = 20е − j 53,1° = 20 cos (−53,1°) + j 20 sin (−53,1°) = I Z 5е j 53,1° = 12 − j16, A . Величины активной и реактивной мощностей, потребляемых цепью, рассчитываются исходя из действующих значений величин P = UI cos ϕ = U a I = RI 2 = 3 ⋅ 202 = 1200, Вт, Q = UI sin ϕ = U p I = X L I 2 = 4 ⋅ 20 2 = 1600, вар, либо с использованием комплексов ∗ S = U I = P + jQ = 100e j 0° ⋅ 20е j 53,1° = 2000е j 53,1° = & = 2000 cos 53,1° + j 2000 sin 53,1° ≈ 1200 + j 1600, ВА. Необходимо обратить внимание на то, что в формуле нахожде- ния мощности S используется комплексно сопряженная величина то- ∗ ка I . Полная или кажущаяся мощность (действующее значение) S = UI = 100 ⋅ 20 = 2000, BA. 3.1.3. Задачи для самостоятельного решения Задача 1 Определить напряжение на ин- C1 R L C2 дуктивном элементе схемы, если R = = 10 Ом, С1= 100 мкФ, С2 = 20 мкФ, U = 24 В, L = 0,4 Гн, f = 50 Гц. U& Ответ: 45,5 В. Задача 2 R1 C R2 L Определить модуль полного ком- плексного сопротивления цепи, по- U строить векторную диаграмму тока и напряжений, если L = 0,2 Гн, R1 = 10 Ом, C = 100 мкФ, R2 = 40 Ом, U = 220 В, f = 50 Гц. Ответ: 58,8 Ом. Задача 3 Определить полное комплексное сопротивление участка цепи, если i =1,35sin (314t+π/10), А, u = 245 sin (314 t – π/20), В. Ответ: 161,7 – j82,39, Ом. Задача 4 Вычислить потребляемую цепью R L C полную комплексную мощность, если U = 127 В, R = 230 Ом, f = 50 Гц, U L = 0,5 Гн, C = 200 мкФ. Ответ: 51 + j31,2, ВА. Задача 5 R ХL1 ХC ХL2 Вычислить величину дейст- вующего значения тока в цепи при U U = 5 B, R = 3 Ом, XL1 = 1 Ом, XL2 = = 1 Ом, XC = 6 Ом. Ответ: 1 А. 3.2. Анализ разветвленных электрических цепей 3.2.1. Основные определения и алгоритм решения задач Полная комплексная проводимость электрической цепи определяется согласно закону Ома I& Y = = G − j (BL − BC) = Ye − jϕ , Ом, U& где G − активная проводимость цепи, См; BL − индуктивная составляющая проводимости, См; BC − емкостная составляющая проводимости, См, причем модуль полной комплексной проводимости Y = G 2 + (BL − BC) 2 , См, B − BC а фаза ϕ = arctg L , град. G Величины G, BL, BC могут быть вычислены также исходя из за- данных параметров электрической цепи. И в общем виде можно ска- зать, что величина проводимости какой-то ветви прямо пропорцио- нальна соответствующему сопротивлению ветви и обратно пропор-
1. Какими параметрами характеризуются синусоидальный ток или напряжение?
2. Каково соотношение между амплитудным и действующим значениями величин, изменяющихся во времени по синусоидальному закону?
3. С какими физическими процессами связаны понятия активного сопротивления, активной мощности? Построить векторную диаграмму напряжения и тока для участка цепи.
4. С какими физическими процессами связаны понятия реактивного сопротивления, реактивной мощности? Как величина индуктивного и емкостного реактивных сопротивлений зависит от частоты питающего напряжения?
5. Построить векторные диаграммы для участков цепи с идеальной индуктивностью и идеальной емкостью.
6. Как определяют активное, реактивное и полное сопротивления цепи, содержащей несколько последовательно включенных элементов?
7. Привести формулы для расчета активной, реактивной и полной мощностей цепи.
8. Построить треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей для участка цепи с последовательным соединением R и L, с последовательны соединением R и C.
9. Построить векторную диаграмму для цепи, содержащей несколько последовательно включенных элементов.
6.4.2. Расчет электрических параметров цепи
Задача 1. Электрическая цепь, показанная на рис. 6.8, питается от источника синусоидального тока с частотой 200 Гц и напряжением 120 В. Дано: R = 4 Ом, L = 6,37 мГн, C = 159 мкФ.
Вычислить ток в цепи, напряжения на всех участках, активную, реактивную, и полную мощности. Построить векторную диаграмму, треугольники сопротивлений и мощностей.
Анализ и решение задачи 1
1. Вычисление сопротивлений участков и всей цепи
Индуктивное реактивное сопротивление
X L = 2πf L = 2×3,14×200×6,37·10 -3 Ом.
Емкостное реактивное сопротивление
X C = 1 / (2πf C) = 1 / (2×3,14×200×159·10 -6) Ом.
Реактивное и полное сопротивления всей цепи:
X = X L - X C = 3 Ом; Ом.
2. Вычисление тока и напряжений на участках цепи
Ток в цепи
I = U / Z = 120 / 5 А.
Напряжения на участках:
U 1 = R I = 96 В; U 2 = X L I = 192 В; U 3 = X C I = 120 В.
3. Вычисление мощностей
Активная мощность
P = R I 2 = U 1 I = 2304 Вт.
Реактивные мощности:
Q L = X L I 2 = U 2 I = 4608 ВАр; Q C = X C I 2 = U 3 I = 2880 ВАр.
Полная мощность цепи
4. Расчет цепи методом комплексных чисел
Запишем в комплексном виде сопротивление каждого элемента и всей цепи
R = 4e j0° = 4 Ом; X L = 8e +j90° = j8 Ом; X C = 5e -j90° = -j5 Ом.
Z = R + j(X L - X C) = 4 + j(8 - 5) Ом.
На комплексной плоскости в масштабе: в 1 см – 2 Ом, построим треугольник сопротивлений (рис. 6.9. а).
Из треугольника определим величину полного сопротивления Z и угол фазового сдвига φ
Ом;
.
В показательной форме полное сопротивление всей цепи запишется в виде
Z = Ze +jφ = 5e +j37° Ом.
Примем начальную фазу приложенного к цепи напряжения за нуль и определим по закону Ома ток в данной цепи
Í = Ú / Z = 120e +j0° / 5e +j37° А.
Следовательно, в данной цепи ток отстает по фазе от напряжения на угол φ. Зная величину тока I, определим мощности для отдельных элементов и всей цепи.
P = 2304 Вт; Q L = 4608 ВАр; Q C = 2880 ВАр.
.
Треугольник мощностей в масштабе: в 1 см – 1000 Вт (ВАр); (ВА), построим (рис. 6.9. б) на основе выражения для полной мощности
S 2 = P 2 + (Q L - Q C) 2 .
Для построения векторных диаграмм по току и напряжениям примем начальную фазу тока равной нулю, т.к. ток I в данной схеме является одним и тем же для всех элементов в цепи.
Í = Ie +j0° / 24e +j0° А.
Запишем выражения для напряжений в комплексной форме
Ú 1 = R Í = 96e +j0° В; Ú 2 = X L Í = 192e +j90° В;
Ú 3 = X C Í = 120e -j90° В; Ú = Z Í = 120e +j37° В.
Выберем масштабы для векторной диаграммы: в 1 см – 6 А; в 1 см – 50 В. Векторная диаграмма напряжений строится на основе второго закона Кирхгофа для данной цепи
Ú = Ú 1 + Ú 2 + Ú 3 .
Векторная диаграмма цепи показана на рис. 6.9. в. При последовательном соединении элементов построение диаграммы начинают с вектора тока Í, по отношению к которому ориентируются вектора напряжений на участках цепи: напряжение на активном сопротивлении Ú 1 совпадает с ним по направлению, напряжение на индуктивности Ú 2 опережает его на 90°, на емкости отстает на 90°. Полное напряжение Ú строится как их векторная сумма.
Дополнительные вопросы к задаче 1
1. Какой характер носит эквивалентное реактивное сопротивление цепи?
По условию задачи X L > X C , поэтому X = X L - X C имеет индуктивный характер. Обратите внимание, что реактивные сопротивления отдельных участков цепи (X L , X C) могут быть больше ее полного сопротивления, так в данном случае X L > Z.
2. Как изменяется режим работы цепи при изменении частоты питающего напряжения?
От частоты зависят реактивные сопротивления: X L прямо пропорционально частоте f, X C обратно пропорционально f. В рассматриваемой схеме X L > X C , поэтому при росте частоты X возрастает, ток уменьшается и возрастает угол φ его отставания от напряжения. При уменьшении частоты X уменьшается и при некотором ее значении X = 0, т.е. схема ведет себя как чисто активное сопротивление (режим резонанса напряжений, при котором U L = U C , Z = R и ток наибольший). При дальнейшем уменьшении частоты X C > X L , Z возрастает, I уменьшается, схема ведет себя как активно-емкостное сопротивление.
Электрическое сопротивление материала определяется по формулам:
Электрическое сопротивление, Ом, материала
R = U/I, где U - напряжение, В; I - сила тока, А.
Удельное электрическое сопротивление, Ом·м,
ρ=Rs/l. S – сечение проводника, м² ; l – длина проводника, м.
Под удельным электрическим сопротивлением материала понимают сопротивление проводника длиной 1 м и сечением 1 м² при 20°С.
Величина, обратная удельному сопротивлению, называется проводимостью:
Если вместо сечения проводника S задан его диаметр D, то сечение, м², находят по формуле
S= πD²/4, где π =3,14.
Сопротивление материала зависит от температуры. Если материал нагрет до температуры t°С, то его сопротивление, Ом, при этой температуре равно:
Rt= R0,
где R0 – сопротивление при начальной температуре t0°С, Ом; α – температурный коэффициент.
Сопротивление нескольких проводников зависит от способа их соединения. Например, при параллельном соединении сопротивление трех проводников определяется по формуле:
Rоб=R1*R2*R3/(R1R2+R2R3+R3R1)
При последовательном соединении:
Постоянный ток
Постоянный ток применяют для питания устройств связи, транзисторных приборов, стартеров автомобилей, электрокар, а также, для зарядки аккумуляторов.
В качестве источников постоянного тока используют гальванические элементы, солнечные батареи, термоэлектрогенераторы, генераторы постоянного тока.
При параллельном соединении нескольких проводников с током с равными напряжениями:
Iоб = I1+I2+…+In Uоб=U1=U2=…=Un
При последовательном соединении: Iоб = Imin; – где Imin, ток наименьшего по мощности источника тока (генератора, аккумуляторной батареи).
Uоб = U1+U2+…+Un
Основные параметры цепей однофазного переменного тока
Однофазный переменный ток промышленной частоты имеет 50 периодов колебаний в секунду, или 50 Гц. Его применяют для питания небольших вентиляторов, электробытовых приборов, электроинструмента, при электросварке и для питания большинства осветительных приборов.
Частота переменного тока, Гц:
f= 1/T = np/60, где п - частота вращения генератора, мин -1 ; р – число пар полюсов генератора.
Мощность однофазного переменного тока:
активная, Вт, Ра = IUcosφ;
реактивная, вар, Q = IUsinφ;
кажущаяся, В А, S = IU =√ (P 2 α+Q 2)
Если в цепь переменного однофазного тока включено только активное сопротивление (например, нагревательные элементы или электрические лампы), то значение силы тока и мощности в каждый момент времени определяют по закону Ома:
I=U/R; Рa = IU = I²R=U²/R.
Коэффициент мощности в цепи с индуктивной нагрузкой
Cosφ= Рa/IU= Рa/S.
Основные параметры цепей трехфазного переменного тока
Трехфазный переменный ток используют для питания большинства промышленных электроприемников. Частота трехфазного переменного тока 50 Гц.
В трехфазных системах обмотки генератора и электроприемника соединяют по схемам «звезда» или «треугольник». При соединении в звезду концы всех трех обмоток генератора (или электроприемника) объединяют в общую точку, называемую нулевой или нейтралью (рис. 5а).
При соединении в треугольник начало первой обмотки соединяют с концом второй, начало второй обмотки - с концом третьей и начало третьей - с концом первой обмотки (рис. 5б).
Если от генератора отходят только три провода, то такая система называется трехфазной трехпроводной; если от него отходит еще и четвертый нулевой провод, то систему называют трехфазной четырехпроводной.
Трехфазные трехпроводные сети используют для питания трехфазных силовых потребителей, а четырехпроводные сети – для питания преимущественно осветительных и бытовых нагрузок.
В трехфазных системах различают фазные и линейные токи и напряжения. При соединении фаз звездой линейный I и фазный Iφ токи равны:
а напряжение U =√3Uφ
При соединении треугольником
а напряжение U = Uφ.
Мощность переменного трехфазного тока:
генератора:
- активная, Вт, Рг =√3IUcosφ ,
- реактивная, вар, Q=√3IUsinφ
- полная, ВА, S = √3IU.
где φ – угол сдвига фаз между фазным напряжением генератора и током в той же фазе приемника, который равен току в линии при соединении обмоток генератора звездой.
приемника:
- активная, Вт, Рп =3UφIcosφп=√3 IUcosφп,
- реактивная, вар, Q=√3 UφIsinφп=√3 UIsinφ
- полная, ВА, S = √3UI.
где φ – угол сдвига фаз между фазным напряжением приемника и током в той же фазе приемника, который равен току линейному только при соединении звездой.
Подсчет количества теплоты, выделяемой при протекании электрического тока по проводнику.
Количество теплоты, Дж, выделяемой электрическим током в проводнике,
Q=I²Rt где t - время, с.
При определении теплового действия электрического тока учитывают, что 1 кВт·ч выделяет 864 ккал (3617 кДж).
Если у Вас остались вопросы – обращайтесь к нам, в авторизованный сервисный центр “Эл Ко-сервис” Мы всегда рады помочь Вам в решении возникших у Вас проблем.
Загрузка...
